Amalie Emmy Noether (23 mars 1882 – 14 avril 1935) est une mathématicienne allemande spécialiste d'algèbre abstraite et de physique théorique. Considérée par Albert Einstein comme « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures », elle a révolutionné les théories des anneaux, des corps et des algèbres. En physique, le théorème de Noether explique le lien fondamental entre la symétrie et les lois de conservation et est considéré comme aussi important que la théorie de la relativité.
Avant tout, Noether restera pour la postérité une algébriste, bien que son travail ait aussi d'importantes conséquences en physique théorique et en topologie. Elle montre une grande propension au raisonnement abstrait, ce qui lui permet d'aborder les problèmes de mathématiques d'un point de vue nouveau et original,. Son ami et collègue Hermann Weyl partage ses recherches en trois périodes.
La première période est surtout consacrée aux invariants différentiels et algébriques, en commençant par sa thèse dirigée par Paul Albert Gordan. Ses horizons mathématiques s'élargissent et ses travaux deviennent plus généraux et abstraits lorsqu'elle se familiarise avec l'œuvre de David Hilbert, à travers de proches interactions avec un successeur de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Après son arrivée à Göttingen en 1915, elle produit ses résultats fondateurs pour la physique : les deux théorèmes de Noether.
Durant la deuxième période (1920 – 1926), Noether se consacre au développement de la théorie des anneaux.
Pendant la troisième période (1927 – 1935), elle se concentre sur l'algèbre non commutative, les transformations linéaires et les corps de nombres commutatifs.
En un siècle, de 1832 à la mort de Noether en 1935, les mathématiques, et en particulier l'algèbre, connaissent une profonde révolution dont les répercussions se font encore sentir aujourd'hui. Les mathématiciens des siècles précédents travaillaient sur des méthodes pratiques pour résoudre des types spécifiques d'équations, par exemple les équations du troisième degré, équations quartiques, etc., ainsi que sur les problèmes de construction à la règle et au compas de polygones réguliers. Cette révolution débute par la création par Carl Friedrich Gauss de l'ensemble des entiers de Gauss et l'étude de leurs propriétés (vers 1831), suivie de l'introduction en 1832 par Évariste Galois des groupes de permutation (bien qu'à cause de sa mort, ses travaux ne soient publiés qu'en 1846 par Liouville), puis de la découverte des quaternions par William Rowan Hamilton en 1843, et enfin de la définition plus moderne des groupes par Arthur Cayley en 1854. La recherche s'oriente alors vers la détermination de systèmes toujours plus abstraits définis par des règles toujours plus générales. Les apports les plus importants de Noether aux mathématiques concernent ce nouveau domaine : l'algèbre abstraite.
Algèbre abstraite et begriffliche Mathematik (mathématiques conceptuelles)
Les groupes et les anneaux sont deux concepts de base en algèbre abstraite, généralisant les opérations usuelles (l'addition pour les groupes, l'addition et la multiplication pour les anneaux). Leur utilisation, bien que coûteuse en abstraction, va permettre d'unifier de nombreux domaines (comme par exemple les corps de nombres et les polynômes dans le cas des anneaux) et de simplifier des preuves, qui en travaillant dans les ensembles particuliers, étaient coûteuses.
Les groupes sont souvent étudiés à travers leurs représentations, c'est-à-dire à l'aide de fonctions (telles que les déplacements de l'espace) se comportant comme les éléments du groupe ; dans ce contexte, ces fonctions sont généralement appelées les symétries de l'espace considéré. Noether a utilisé ces symétries dans ses travaux sur les invariants en physique. D'autres outils puissants similaires permettent d'étudier les anneaux, par exemple l'utilisation de modules.
Les théorèmes d'algèbre abstraite sont puissants car généraux ; ils régissent de nombreux systèmes. On pourrait imaginer que peu de conclusions puissent être tirées d'objets définis à partir d'un nombre si restreint de propriétés, mais au contraire c'est là que réside l'apport de Noether : découvrir le maximum qui puisse être conclu à partir d'un ensemble donné de propriétés ou, réciproquement, identifier l'ensemble minimum, les propriétés essentielles responsables d'une observation particulière. Au contraire de la plupart des mathématiciens, elle ne produit pas des abstractions en généralisant à partir d'exemples connus, mais travaille directement dans l'abstraction. Comme le rappelle van der Waerden dans son hommage funèbre :
« La devise par laquelle Emmy Noether était guidée pour son travail pourrait être formulée ainsi : toutes les relations entre les nombres, les fonctions et les opérations deviennent transparentes, largement applicables et pleinement productives seulement lorsqu'elles ont été séparées des objets particuliers auxquelles elles s'appliquent et reformulées en tant que concepts universels. »
C'est la begriffliche Mathematik (les mathématiques purement conceptuelles) qui caractérise Noether. Ce style de mathématiques a été adopté par d'autres mathématiciens et, après sa mort, a refleuri sous d'autres formes, comme la théorie des catégories.
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